Нелинейная динамика

Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении нелинейных динамических систем, можно свести к анализу относительно простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Так, например, одним из стандартных сценариев перехода от порядка к хаосу служит цепь последовательных бифуркаций: положение равновесия (точка покоя) - периодические колебания (цикл) - квазипериодические колебания (тор) - хаотические колебания (странный аттрактор). Каждый такой переход сопровождается потерей устойчивости простого многообразия и рождением нового, более сложного устойчивого многообразия. Присутствие случайных возмущений, связанных как с внешними неконтролируемыми воздействиями, так и внутренними параметрическими флуктуациями, может существенно повлиять на тонкий механизм бифуркаций и вызвать неожиданные качественные изменения в поведении системы. Анализ стохастической устойчивости соответствующих колебательных режимов является здесь ключевым моментом в понимании механизма сложных явлений нелинейной динамики. Разработка методов управления даст возможность, придавая аттракторам те или иные желаемые вероятностные свойства, решать важные прикладные задачи синтеза систем с требуемыми наперед заданными характеристиками.

На кафедре математической физики, начиная с 2001 года, ведутся исследования по следующим направлениям.

1. Разработка общего варианта метода функций Ляпунова для анализа экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости компактных инвариантных многообразий нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. В работах Ряшко Л.Б. введена конструкция системы стохастического линейного расширения и понятие P-устойчивости, доказана теорема о стохастической устойчивости по первому приближению. Получен общий критерий, сводящий исследование стохастической устойчивости к оценкам спектрального радиуса некоторого положительного оператора.

Как следствие этих общих результатов, получены конструктивные параметрические критерии стохастической устойчивости, как для точки покоя, так и для основных колебательных режимов - предельного цикла и тороидального инвариантного многообразия; решена задача об устойчивости линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами.

2. Для случая малых шумов, не вырождающихся на многообразии, Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. разработан общий подход, направленный на анализ стохастической чувствительности исследуемого аттрактора. Основной конструкцией предлагаемого подхода является задаваемая на многообразии функция стохастической чувствительности. Введение данной функции позволило в достаточно сжатой форме описать основные пространственные вероятностные характеристики пучка случайных траекторий системы, локализованного в окрестности исследуемого инвариантного множества. Разработаны численные методы, позволяющие находить функцию стохастической чувствительности для сложных пространственных многооборотных предельных циклов и двумерных тороидальных многообразий.

3. Новые возможности разработанной теории стохастической чувствительности нашли свое применение в ряде приложений: проведен анализ вероятностных механизмов субкритического перехода ламинарного потока в турбулентный и генерации магнитного поля галактик; исследована стохастическая чувствительность предельных циклов в классических моделях Ван-дер-Поля, брюсселятора, Ресслера и Лоренца; для брюсселятора обнаружена зона параметров, в которой наблюдается сверхвысокая чувствительность и генерация хаоса; для циклов моделей Ресслера и Лоренца выявлены закономерности в изменении чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу.

4. На основе построенной теории стохастической устойчивости исследуется задача стабилизации. Получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости и предложены конструкции стабилизирующих регуляторов как для общих инвариантных многообразий, так и для их наиболее важных случаев - точек покоя, циклов, торов.

5. Конструктивные возможности разработанной теории стохастической чувствительности используются в решении новой задачи управления вероятностными характеристиками стохастических аттракторов.
Для рассматриваемой задачи управления введены понятия и получены критерии достижимости и полной управляемости. Детально исследована задача управления стохастической чувствительностью точки покоя и цикла. В настоящее время предложенная Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. теория используется для решения задач, связанных с управлением хаоса.


Результаты исследований представлены докладами на конференциях как в нашей стране, так и за рубежом:
международные семинары "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006),
"Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" (Kyiv, 1999, 2001, 2003, 2005), международный Конгресс "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002), международные конференции по статистической физике StatPhys20 (Paris, 1998), StatPhys22 (Bangalore, 2004),
Third International Conference on Dynamic Systems and Applications
(Atlanta, 1999), Nonlinear Dynamics and Chaos (Bristol, UK, 2001),
International Conference on Theoretical Physics (Paris, 2002),
Europhysics Conference on Computational Physics (Aachen, Germany, 2001),
School on Statistical Physics and Probabilistic Methods (Trieste, Italy, 1999),
School and Conference on Spatiotemporal Chaos (Trieste, Italy, 2002),
Symposium on Synchronization of Chaotic Systems (Trieste, Italy, 2000),
School and Conference on Probability Theory (Trieste, Italy, 2002),
EUROMECH Nonlinear Oscillations Confe\-rence (Eindhoven, Netherlands, 2005),
3 European Congress of Mathematics (Barcelona, Spain, 2000),
4 European Congress of Mathematics (Stockholm, Sweden, 2004),
International Congress of Mathematicians (Berlin, Germany, 1998, Beijing, China, 2002).

Список основных публикаций последних лет:

1. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator.// Physica A, 2000, 278, pp.126-239.
2. Ляшенко Е.А., Ряшко Л.Б. Оптимальные регуляторы, не удовлетворяющие теореме разделения.// Кибернетика и системный анализ, 2000, N3, с.134-145.
3. Ряшко Л.Б. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости и стабилизации двумерного инвариантного тора. Прикладная нелинейная динамика, №4,5, стр. 140-153, 2001.
4. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным воздействиям. Прикладная нелинейная динамика. №6,стр. 104-113, 2001.
5. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period doubling bifurcations. // Dynamic Systems and Applications, 2002, v.11, n.2, 293-310.
6. Ряшко Л.Б. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу. Соросовский образовательный журнал, т.7, №10, стр. 122-127, 2001.
7. Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of a non-normal dynamical system mimicking a laminar-to-turbulent subcritical transition. Phys. Rev. E, V.66, 066310, 2002.
8. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу. Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. №6, стр. 32-47, 2003.
9. Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity of 3D-cycles. Mathematics and Computers in Simulation. 2004, v.66, pp.55-67.
10. Ryashko L. Exponential mean square stability of stochastically forced two-torus. Nonlinearity. 2004, v.17, pp.729-742.
11. Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic analysis of subcritical amplification of magnetic energy in a turbulent dynamo. // Physica A 342, 2004, p.491-506.
12. Ryagin Yu., Ryashko L. The analysis of the stochastically forced periodic attractors for Chua's circuit. International Journal of Bifurcations and Chaos. 2004. v.14, n.11, pp.3981-3987.
13. Губкин А.А., Ряшко Л.Б. Итерационный метод анализа стохастической устойчивости линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами. Дифференциальные уравнения и процессы управления. №2, 2005, с.105-121.
14. Bashkirtseva I., Ryashko L. Sensitivity and chaos control for the forced nonlinear oscillations. Chaos, Solitons and Fractals. 2005, v.26, p.1437
15. Ряшко Л.Б., Башкирцева И.А. Управление стохастически возмущенными автоколебаниями. Автоматика и телемеханика. 2005. №6. C.104-113.
16. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos. Neural, Parallel and Scientific Computations. 2005. V. 13. P. 131-146.
17. Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Обратные бифуркации в стохастической системе Ресслера. Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т.13, № 4, С. 20-36.
18.Ряшко Л.Б., Смирнов А.В. Методы исследования детерминированной и стохастической устойчивости гликолитического осциллятора. Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т.13, №5-6, С. 99-112.
19.Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности 2-тора. Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т.14. №1, С. 38-54.
20. Васин В.В., Ряшко Л.Б. Элементы нелинейной динамики: от порядка к хаосу. Екатеринбург. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006, 164 с.

 

Публикации

 

Форма авторизации

Пожалуйста авторизуйтесь


Полезные ссылки


Поиск по сайту